Тарау ІІІ. МОДЕЛЬДЕУДЕГІ НЕГІЗГІ ЗАҢДАРЫ

1. Модельдеудегі сақталу заңдары

1.1 Массаның сақталу заңы. Үзіліссіздік теңдеуі

1.2 Қозғалыс мөлшерінің өзгеруі туралы теорема. Қозғалыс теңдеуі. Тепе-теңдік теңдеуі. Қозғалыс мөлшерінің моментінің өзгеруі туралы теорема

Өзіндік жұмысқа арналған сұрақтар

1.1 Массаның сақталу заңы. Үзіліссіздік теңдеуі

Кез-келген материальдық континуумның массасы бар. t уақытында кеңістіктің V көлемін алып жатқан тұтас ортаның бірқатар бөліктерінің массаларының қосындысы келесі интегралмен өрнектеледі:

,                                    (3.1)

мұндағы тығыздық деп аталатын, координаталардың үзіліссіз функциясы.

Массаның сақталу заңы: ортадан бөлінген бөлікшенің массасы тұрақты болып қалады және одан ((3.1)-ден) алынған материалдық туынды нөлге тең. (2.52) өрнекке сәйкес материалдық туынды келесі түрде болады:

                    (3.2)

V көлемі кез-келген болғандықтан интеграл астындағы өрнек нөлге айналу керек. Яғни

     немесе     .               (3.3)

(3.3) теңдеу үзіліссіздік теңдеуі деп аталады.

Материалдық туындыны ашып жазу арқылы (3.3) теңдеуін келесі түрде жазуға болады:

     немесе     .          (3.4)

Сығылмайтын ортада  болғандықтан (3.3) теңдеуді келесі түрде жазуға болады және ол сығылмайтын ортадағы үзіліссіздік теңдеуі деп аталады:

     немесе     .                                      (3.5)

Сығылмайтын ортадағы жылдамдық өрісі  – ны келесі түрде өрнектеуге болады:

     немесе     ,                   (3.6)

мұндағы  функциясы – ның векторлық потенциалы деп аталады.

Үзіліссіздік теңдеуін Лагранждық немесе Эйлерлік формада жазуға болады. Массаның сақталуы үшін келесі теңдіктің орындалуы қажет:

,                    (3.7)

мұнда екі интеграл да бірдей бөлікшеден алынған, яғни V бұл t=0 уақытында  көлемін алып жатқан, орта көлемі. (2.1) және (2.38) формулаларын пайдаланып, (3.7) теңдеудің оң жақтағы интегралын келесі түрде түрлендіруге болады:

.           (3.8)

 көлемі- кез-келген болғандықтан,

.                                                (3.9)

Бұл  көбейтіндісінің уақыттан тәуелсіз екендігін білдіреді. Онда

.                                        (3.10)

(3.10) – үзіліссіздік теңдеуінің Лагранждық дифференциалдық формасы деп аталады.